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对有向图进行拓扑排序的方法是:

(1)初始时拓扑序列为空;

(2)任意选择一个入度为0的顶点,将其放入拓扑序列中,同时从图中删除该顶点以及从该顶点出发的弧;

(3)重复(2),直到不存在入度为0的顶点为止(若所有顶点都进入拓扑序列则完成拓扑排序,否则由于有向图中存在回路无法完成拓扑排序)。

函数int*TopSort(LinkedDigraph G)的功能是对有向图G中的顶点进行拓扑排序,返回拓扑序列中的顶点编号序列,若不能完成拓扑排序,则返回空指针。其中,图G中的顶点从1开始依次编号,顶点序列为v1,v2,…,vn,图G采用邻接表表示,其数据类型定义如下:

#define MAXVNUM 50/*最大顶点数*/

typedef struct ArcNode{/*表结点类型*/

int adjvex;/*邻接顶点编号*/

struct ArcNode*nextarc;/*指示下一个邻接顶点*/

}ArcNode;

typedef struct AdjList{/*头结点类型*/

char vdata;/*顶点的数据信息*/

ArcNode*firstarc;/*指向邻接表的第一个表结点*/

}AdjList;

typedef struct LinkedDigraph{/*图的类型*/

int n;/*图中顶点个数*/

AdjList Vhead[MAXVNUM];/*所有顶点的头结点数组*/

}LinkedDigraph;

例如,某有向图G如图4-1所示,其邻接表如图4-2所示。

中级软件设计师,历年真题,2010年上半年(下午)《软件设计师》真题

图4-1有向图G

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函数TopSort中用到了队列结构(Queue的定义省略),实现队列基本操作的函数原型如下表所示:

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【C代码】

int*TopSort(LinkedDigraph G){

ArcNode*p;/*临时指针,指示表结点*/

Queue Q;/*临时队列,保存入度为0的顶点编号*/

int k=0;/*临时变量,用作数组元素的下标*/

int j=0,w=0;/*临时变量,用作顶点编号*/

int*topOrder,*inDegree;

topOrder=(int*)malloc((G.n+1)*sizeof(int));/*存储拓扑序列中的顶点编号*/

inDegree=(int*)malloc((G.n+1)*sizeof(int));/*存储图G中各顶点的入度*/

if(!inDegree||!topOrder)return NULL;

(1);/*构造一个空队列*/

for(j=1;j<=G.n;j++){/*初始化*/

topOrder[j]=0;inDegree[j]=0;

}

for(j=1;j<=G.n;j++)/*求图G中各顶点的入度*/

for(p=G.Vhead[j].firstarc;p;p=p->nextarc)

inDegree[p->adjvex]+=1;

for(j=1;j<=G.n;j++)/*将图G中入度为0的顶点保存在队列中*/

if(0==inDegree[j])EnQueue(&Q,j);

while(!IsEmpty(Q)){

(2);/*队头顶点出队列并用w保存该顶点的编号*/

topOrder[k++]=w;

/*将顶点w的所有邻接顶点的入度减1(模拟删除顶点w及从该顶点出发的弧的操作)*/

for(p=G.Vhead[w].firstarc;p;p=p->nextarc){

(3)-=1;

if(0==(4))EnQueue(&Q,p->adjvex);

}/*for*/

free(inDegree);

if((5))

return NULL;

return topOrder;

}/*TopSort*/

【问题1】(9分)

根据以上说明和C代码,填充C代码中的空(1)~(5)。

【问题2】(2分)

对于图4-1所示的有向图G,写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。若将函数TopSort中的队列改为栈,写出函数TopSort执行后得到的拓扑序列。

【问题3】(4分)

设某有向无环图的顶点个数为n、弧数为e,那么用邻接表存储该图时,实现上述拓扑排序算法的函数TopSort的时间复杂度是(6)。

若有向图采用邻接矩阵表示(例如,图4-1所示有向图的邻接矩阵如图4-3所示),且将函数TopSort中有关邻接表的操作修改为针对邻接矩阵的操作,那么对于有n个顶点、e条弧的有向无环图,实现上述拓扑排序算法的时间复杂度是(7)。

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答案:
本题解析:

【问题1】(9分)

(1)InitQueue(&Q)(1分)注:函数名与参数必须完全正确才可得分

(2)DeQueue(&Q,&w)(2分)注:函数名与参数必须完全正确才可得分

(3)inDegree[p->adjvex]及其等价形式(2分)

(4)inDegree[p->adjvex]及其等价形式(2分)

(5)k<G.n或k!=G.n(2分)

【问题2】(2分)

队列方式:v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6(或1 2 5 4 3 7 6)(1分)

栈方式:v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6(或1 2 5 4 7 3 6)(1分)

【问题3】(4分)

(6)O(n+e)(2分)

(7)O(n2)(2分)

本题考查数据结构和算法中的拓扑排序算法。

【问题1】

拓扑排序是将有向无环图中所有顶点排成一个线性序列的过程,并且该序列满足:若在有向图中从顶点Vi到Vj有一条路径,则在该线性序列中,顶点Vi必然在顶点Vj之前。

对AOE网进行拓扑排序的方法如下:

①在AOE网中选择一个入度为零(没有前驱)的顶点且输出它:

②从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边;

③重复上述两步,直至网中不存在入度为零的顶点为止。

在拓扑排序过程中,需要将入度为0的顶点临时存储起来。函数中用一个队列暂存入度为0且没有进入拓扑序列的顶点。显然,空(1)处应填入InitQueue(&Q)。

进行拓扑排序之前,应先求出网中每个顶点的入度并存入数组inDegree[]中,从而将“从网中删除该顶点及其与该顶点有关的所有边”的操作转换为“相关顶点的入度减1”,一旦发现某个顶点的入度变为0,就将其编号压入堆栈。从而将选择入度为0的顶点操作转化为令队头所代表的顶点出队。

根据注释,空(2)处应填入DeQueue(&Q,&w),实现队头元素出队列的处理。

题中图采用邻接表存储结构,当指针p指向Vi邻接表中的结点时,p->adjvex表示vi的一个邻接顶点,删除vi至顶点p->adjvex的弧的操作实现为顶点p->adjvex的入度减1,因此,空(3)处应填入inDegree[p->adjvex],当顶点p->adjvex的入度为0时,需要将其加入队列,因此空(4)处也应填入inDegree[p->adjvex]。

空(5)处判断是否所有顶点都加入了拓扑序列,算法中变量k用于对加入序列的顶点计数,因此,空(5)处应填入“k<G.n”或“k!=G.n"。

【问题2】

使用栈和队列的差别在于拓扑序列中顶点的排列次序可能不同。对于本题中的有向图,在使用队列的方式更下:

(1)开始时仅顶点V1的入度为0,因此顶点V1入队:

(2)队头顶点V1出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点V1出发的弧后,仅使顶点v2的入度为0,因此顶点v2入队:

(3)队头顶点v2出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v2出发的弧后,仅使顶点v5的入度为0,因止顶点v5入队;

(4)队头顶点v5出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v5出发的弧后,仅使顶点v4的入度为0,因此顶点v4入队;

(5)队头顶点v4出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v4出发的弧后,仅使顶点v3和v7的入度为0,因此顶点v3和v7依次入队;

(6)队头顶点v3出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v3出发的弧后,没有产生新的入度为0的顶点;

(7)队头顶点v7出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v7出发的弧后,使顶点v6的入度为0,因此顶点v6入队;

(8)队头顶点v6出队,并进入拓扑序列,然后删除从顶点v6出发的弧后,没有产生新的入度为0的顶点,队列已空,因此结束拓扑排序过程,得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6。

使用栈保存入度为0的顶点时,前4步都是一样的,因为每次仅有一个元素进栈,因此出栈序列与入栈序列一致。到第5步时,v3和v7依次入栈后,出栈时的次序为v7和v3,因此得到的拓扑序列为v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6。

【问题3】

以邻接表为存储结构时,计算各顶点入度的时间复杂度为O(e),建立零入度顶点队列的时间复杂度为O(n)。在拓扑排序过程中,(图中无环情况下)每个顶点进出队列各1次,入度减l的操作在while循环中共执行e次,所以总的时间复杂度为O(n+e)。

以邻接矩阵为存储结构时,计算各顶点入度时需要遍历整个矩阵,因此时间复杂度为O(n),建立零入度顶点队列的时间复杂度为O(n)。在拓扑排序过程中,(图中无环情况下)每个顶点进出队列各1次,实现入度减1操作时需遍历每个顶点的行向量1遍(时间复杂度为O(n)),所以总的时间复杂度为O(n2)。

更新时间:2021-12-06 06:36

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