设n元线性方程组Ax＝b，其中
（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）an；
（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解。
证明：（Ⅰ）方法一：数学归纳法
记
以下用数学归纳法证明Dn＝（n＋1）an。
当n＝1时，D1＝2a，结论成立；
当n＝2时，
结论成立；
假设结论对小于n的情况成立。将Dn按第一行展开得
故|A|＝（n＋1）an。
方法二：消元法
记
（Ⅱ）当a≠0时，方程组系数行列式Dn≠0，故方程组有唯一解。由克莱姆法则，将Dn得第一列换成b，得行列式为
所以，当a≠0时，有唯一解
（Ⅲ）当a＝0时，方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以方程组有无穷多组解，其通解为x＝（0，1，0，…，0）T＋k（1，0，…，0）T，其中k为任意常数。
