2016全国硕士研究生入学考试《数学2》真题

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1 单选题 1分

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正确答案：C

本题解析：

2 单选题 1分

设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图1所示，则（　　）。

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正确答案：B

本题解析：

如图2所示，f′（x）在a，c，d三点取值为0，有可能为f（x）的极值点。a点：当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0，所以a点为极大值点。c点：当x＜c时，f′（x）＜0；当x＞c时，f′（x）＞0，所以c点为极小值点。d点：当x＜d时，f′（x）＞0；当x＞d时，f′（x）＞0，所以d点不是极值点。所以f（x）有2个极值点。

图中，b，e，d有可能为f（x）的拐点。b点：当x＜b时，f′（x）递减，f″（x）＜0；当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0所以b点为拐点。e点：当b＜x＜e时，f′（x）递增，f″（x）＞0；当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0，所以e点为拐点。d点：当e＜x＜d时，f′（x）递减，f″（x）＜0，当x＞d时，f′（x）递增，f″（x）＞0，所以d点为拐点。所以f（x）有3个拐点。

3 单选题 1分

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正确答案：D

本题解析：

4 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

5 单选题 1分

设函数fi（x）（i＝1，2）具有二阶连续导数，且fi″（x0）＜0（i＝1，2），若两条曲线y＝fi（x）（i＝1，2）在点（x0，y0）处具有公切线y＝g（x），且在该点处曲线y＝f1（x）的曲率大于曲线y＝f2（x）的曲率，则在x0的某个邻域内，有（　　）。

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正确答案：A

本题解析：

由题可知，f1（x0）＝f2（x0）＝g（x0），f1′（x0）＝f2′（x0）＝g′（x0），且根据曲率大小关系有f1″（x0）＜f2″（x0），g″（x0）＝0。

令F（x）＝f1（x）－f2（x），则F（x0）＝0，F′（x0）＝f1′（x0）－f2′（x0）＝0，F″（x0）＝f1″（x0）－f1″（x0）＜0。所以，F（x0）＝0为F（x）的一个极大值，即在x0的某个邻域内F（x）≤0，也即f1（x）≤f2（x）。

同理设G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在x0的某个邻域内G（x）≤0，也即fi（x）≤g（x）。

综上，在x0的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。

6 单选题 1分

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正确答案：B

本题解析：

7 单选题 1分

设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，，则下列结论错误的是（　　）。

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正确答案：C

本题解析：

8 单选题 1分

已知函数f（x，y）＝ex/（x－y），则（　　）。

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正确答案：D

本题解析：